18 | 11 | 2017

Энергия

При движении механической системы 2s величин qi и i (i = 1, 2, ..., s), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения.

Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s−1. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2s произвольных постоянных.

Подробнее: Энергия

Импульс

Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства.

В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок ε и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной.

Подробнее: Импульс

Центр инерции

Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным (инерциальным) системам отсчета. Если система отсчета К’ движется относительно системы отсчета К со скоростью V, то скорости v’α и vα частиц по отношению к этим системам связаны соотношением vα=v’α+V. Поэтому связь между значениями Р и Р' импульса в этих системах дается формулой

Подробнее: Центр инерции

Момент импульса

Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства.

Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась.

Введем вектор δφ бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу δφ поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению δφ).

Подробнее: Момент импульса

Механическое подобие

Умножение функции Лагранжа на любой постоянный множитель очевидным образом не меняет уравнений движения. Это обстоятельство дает возможность в ряде важных случаев сделать некоторые существенные заключения о свойствах движения, не производя конкретного интегрирования уравнений движения.

Сюда относятся случаи, когда потенциальная энергия является однородной функцией координат, т.е. функцией, удовлетворяющей условию

U (r1, r2, ..., rn) = kU (r1, r2, ..., rn),               (10.1)

где  — любая постоянная, а число k — степень однородности функции.

Подробнее: Механическое подобие