Теорема вириала

Поскольку след тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю, то сумма Tii для любой системы взаимодействующих частиц сводится к следу тензора энергии-импульса одних лишь частиц. Воспользовавшись выражением (33.5), имеем:

Tii = T(ч)ii = μcuiui = μc = μc2 .

Перепишем этот результат, возвратившись к суммированию по частицам, т.е. представив μ в виде суммы (33.4). Тогда получим окончательно:

Tii =  mac2 δ(rra).           (34.1)

Отметим, что согласно этой формуле для всякой системы имеем

Tii ≥ 0,                                                    (34.2)

причем знак равенства имеет место только для электромагнитного поля без зарядов.

Рассмотрим замкнутую систему заряженных частиц, совершающих финитное движение, при котором все характеризующие систему величины (координаты, импульсы) меняются в конечных интервалах.

Выведем соотношение, связывающее полную энергию системы с некоторыми усредненными по времени ее характеристиками.

Усредним уравнение

= 0

(см. (32.12)) по времени. При этом среднее значение производной ∂Tα0/∂t, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в конечном интервале, равно нулю. Поэтому находим

= 0.

Умножаем это уравнение на xα и интегрируем по всему пространству. Интеграл преобразуем по теореме Гаусса, имея в виду, что на бесконечности Tαβ=0 и потому интеграл по поверхности исчезает:

xα  dV = − dV dV = 0,

или окончательно:

  dV = 0.                                           (34.3)