20 | 11 | 2017

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Применим теперь полученные в предыдущем параграфе общие соотношения к электромагнитному полю. Для электромагнитного поля величина Λ, стоящая под знаком интеграла (32.1), равна, согласно (27.4),

Λ = − Fkl Fkl.

Величинами д являются компоненты 4-потенциала поля Ak, так что определение (32.5) тензора Tik принимает вид

Tik  − δikΛ.

Для вычисления стоящей здесь производной от Λ напишем вариацию:

δΛ =  Fkl δ Fkl   =  Fkl δ .

Переставляя индексы и имея в виду антисимметричность получим

δΛ = −  Fkl δ .

Отсюда мы видим, что

= −  Fkl,

и поэтому

Tik−   Fkl δik Flm Flm,

или для контравариантных компонент

Tik−   Fkl gik Flm Flm.

Этот тензор, однако, не симметричен. Для его симметризации прибавим к нему величину

  Fkl.

Согласно уравнению поля (30.2) в отсутствие зарядов ∂Fkl/∂xl=0, а потому

  Fkl (Ai Fkl),

так что производимая замена Tik относится к виду (32.7) и является допустимой. Поскольку ∂Al/∂xi−∂Ai/∂xl=Fil то мы находим окончательно следующее выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного поля:

Tik = (−Fil Fkl gik Flm Flm).                (33.1)

Симметричность этого тензора очевидна. Кроме того, его след равен нулю:

Tii = 0.                                              (33.2)