20 | 11 | 2017

Тензор энергии-импульса

Заменив в левой части равенства

= δik 

и введя обозначение

Tik = q,i  − δikΛ,                                     (32.3)

напишем полученное соотношение в виде

= 0.                                                (32.4)

Если имеется не одна, а несколько величин q(l) то вместо (32.3) надо, очевидно, писать:

Tik =  − δikΛ.                        (32.5)

Мы видели ранее, что уравнение вида ∂Ak/∂xk=0, т.е. равенство нулю 4-дивергенции вектора, эквивалентно утверждению, что сохраняется интеграл ∫AkdSk от этого вектора по гиперповерхности, заключающей в себе все трехмерное пространство. Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для тензора: уравнение (32.4) эквивалентно утверждению, что сохраняется вектор

Pi = const • TikdSk.

Этот вектор и должен быть отождествлен с 4-импульсом системы. Постоянный множитель перед интегралом мы выберем так, чтобы временная компонента P0 в соответствии с прежним определением была равна энергии системы, деленной на c. Для этого замечаем, что

P0 = const • T0kdSk = const  T00dV,

если интегрирование производится по гиперплоскости x0=const. С другой стороны, согласно (32.3) имеем

T00 − Λ

(где =∂q/∂t). В соответствии с обычной формулой, связывающей энергию с функцией Лагранжа, эту величину надо рассматривать как плотность энергии, и поэтому ∫T00dV есть полная энергия системы. Таким образом, надо положить const=1/c, и мы получаем окончательно для 4-импульса системы выражение

Pi = TikdSk.                                      (32.6)

Тензор Tik называется тензором энергии-импульса системы.