24 | 09 | 2017

Вторая пара уравнений Максвелла

Ввиду того, что по смыслу принципа наименьшего действия вариации δAi произвольны, нулю должен равняться коэффициент при δAi, т. е.

= −  ji.                                              (30.2)

Перепишем эти четыре (i=0,1,2,3) уравнения в трехмерной форме. При i=1 имеем

+ = −  j1.

Подставляя значения составляющих тензора Fik, находим

 − = −  jx.

Вместе с двумя следующими (i=2,3) уравнениями они могут быть записаны как одно векторное:

rot H  j.                                         (30.3)

Наконец, уравнение с i=0 дает

div Е = 4ρ.                                                     (30.4)

Уравнения (30.3), (30.4) и составляют искомую вторую пару Максвелла. Вместе с первой парой, они вполне определяют находим электромагнитное поле и являются основными уравнениями теории этих полей — электродинамики.

Напишем эти уравнения в интегральной форме. Интегрируя (30.4) по некоторому объему и применяя теорему Гаусса

div E dV = Edf,

находим

Edf = 4ρdV.                                                (30.5)

Таким образом, поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью, умноженному на 4.