20 | 11 | 2017

Вторая пара уравнений Максвелла

При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия мы должны считать заданным движение зарядов и должны варьировать только потенциалы поля (играющие здесь роль «координат» системы); при нахождении уравнений движения мы, наоборот, считали поле заданным и варьировали траекторию частицы.

Поэтому вариация первого члена в (28.6) равна теперь нулю, а во втором не должен варьироваться ток ji. Таким образом,

δS = −    ji δAi + FikδFikdΩ = 0

(при варьировании во втором члене учтено, что FikδFikFikδFik. Подставляя

Fik − ,

имеем

δS = −   ji δAi + FikδAk FikδAidΩ.

Во втором члене меняем местами индексы i и k, по которым производится суммирование, и, кроме того, заменяем Fik на −Fik. Тогда мы получим

δS = −   ji δAi + FikδAidΩ.

Второй из этих интегралов берем по частям, т.е. применяем теорему Гаусса:

δS = −   ji + δAi dΩ FikδAi dSk.    (30.1)

Во втором члене мы должны взять его значение на пределах интегрирования. Пределами интегрирования по координатам является бесконечность, где поле исчезает. На пределах же интегрирования по времени, т. е. в заданные начальный и конечный моменты времени, вариация потенциалов равна нулю, так как по смыслу принципа наименьшего действия потенциалы в эти моменты заданы. Таким образом, второй член в (30.1) равен нулю, и мы находим

ji + δAi dΩ = 0.