20 | 11 | 2017

Уравнение непрерывности

В предыдущем параграфе мы видели, что полный заряд, находящийся во всем пространстве, может быть написан в виде

  jidSi,

где интегрирование производится по гиперплоскости x0 = const. В другой момент времени полный заряд изобразится таким же интегралом, взятым по другой гиперплоскости, перпендикулярной к оси x0. Легко проверить, что уравнение (29.4) действительно приводит к закону сохранения заряда, т. е. к тому, что интеграл jidSi одинаков, по какой бы гиперплоскости x0=const мы ни интегрировали. Разность между интегралами jidSi, взятыми по двум таким гиперплоскостям, можно написать в виде jidSi, где интеграл берется по всей замкнутой гиперповерхности, охватывающей 4-объем между двумя рассматриваемыми гиперплоскостями (этот интеграл отличается от искомой разности интегралом по бесконечно удаленной «боковой» гиперповерхности, который, однако, исчезает, так как на бесконечности нет зарядов). С помощью теоремы Гаусса (6.15) можно, преобразовав этот интеграл в интеграл по 4-объему между двумя гиперплоскостями, убедиться, что

jidSi dΩ = 0,                                (29.5)

что и требовалось доказать.

Приведенное доказательство остается, очевидно, в силе и для двух интегралов jidSi, в которых интегрирование производится по любым двум бесконечным гиперповерхностям (а не только по гиперплоскостям x0=const), включающим в себя все (трехмерное) пространство. Отсюда видно, что интеграл   jidSi действительно имеет одно и то же значение (равное полному заряду в пространстве), по какой бы такой гиперповерхности ни производилось интегрирование.

Мы уже запоминали о тесной связи между калибровочной инвариантностью уравнений электродинамики и законом сохранения заряда. Продемонстрируем ее еще раз на выражении действия в виде (28.6). При замене Ai на Ai∂f/∂xi ко второму члену в (28.6) добавится интеграл

  ji  dΩ.

Именно сохранение заряда, выражаемое уравнением непрерывности (29.4), позволяет написать подынтегральное выражение в виде 4-дивергенции (fji) после чего, согласно теореме Гаусса, интеграл по 4-объему преобразуется в интеграл по граничным гиперповерхностям; при варьировании действия эти интегралы выпадают и, таким образом, не отражаются на уравнениях движения.