18 | 11 | 2017

Уравнение непрерывности

Поскольку это равенство должно иметь место при интегрировании по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю:

div j + = 0.                                          (29.3)

Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальном виде.

Легко убедиться в том, что выражение (28.1) для р в виде δ-функций автоматически удовлетворяет уравнению (29.3). Для простоты предположим, что имеется всего лишь один заряд, так что

ρ = (r − r0).

Тогда ток

jevδ (r − r0).

где v — скорость заряда. Найдем производную ∂ρ/∂t. При движении заряда меняются его координаты, т. е. меняется r0. Поэтому

=  .

Но r0/∂t есть не что иное, как скорость v заряда. Далее, поскольку ρ есть функция от r − r0,

= − 

Следовательно,

= − v grad ρ = − div ρv

(скорость v заряда не зависит, конечно, от r). Таким образом, мы приходим к уравнению (29.3).

В четырехмерной форме уравнение непрерывности (29.3) выражается равенством нулю 4-дивергенции 4-вектора тока:

= 0.                                                (29.4)