18 | 11 | 2017

Уравнение непрерывности

Изменение со временем заряда, находящегося в некотором объеме, дается производной

ρ dV.

С другой стороны, изменение за единицу времени определяется количеством заряда, выходящего за это время из данного объема наружу, или, наоборот, входящего внутрь его. Количество заряда, проходящего за единицу времени через элемент df поверхности, ограничивающей наш объем, равно ρv df, где v есть скорость заряда в той точке пространства, где находится элемент df. Вектор df направлен, как это всегда принимается, по внешней нормали к поверхности, т. е. по нормали, направленной наружу от рассматриваемого объема. Поэтому ρv df положительно, если заряд выходит из нашего объема, и отрицательно, если заряд входит в него. Полное количество заряда, выходящего в единицу времени из данного объема, есть, следовательно, ρv df, где интеграл распространен по всей замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.

Из сравнения обоих полученных выражений находим

ρ dV = − ρv df.                                 (29.1)

Справа поставлен знак минус, так как левая часть положительна, если полный заряд в данном объеме увеличивается. Уравнение (29.1), выражающее собой закон сохранения заряда, есть так называемое уравнение непрерывности, написанное в интегральном виде. Замечая, что ρv есть плотность тока, можно переписать (29.1) в виде

ρ dV = − j df.                                    (29.2)

Напишем это же уравнение в дифференциальном виде. Применив к правой части (29.2) теорему Гаусса

j df div j dV,

находим

div j dV = 0.