20 | 11 | 2017

Четырехмерный вектор тока

Подобно тому как δ(x) определена для одной переменной x, можно ввести трехмерную δ-функцию δ(r), равную нулю везде, кроме начала трехмерной системы координат, и интеграл которой по всему пространству равен 1. Такую функцию можно, конечно, представить как произведение δ(x)δ(y)δ(z).

Заряд частицы есть, по самому своему определению, величина инвариантная, т. е. не зависящая от выбора системы отсчета. Напротив, плотность ρ не есть инвариант, — инвариантом является лишь произведение ρdV.

Умножим обе части равенства de=ρdV на dxi:

de dxiρdV dxiρdV dt .

Слева стоит 4-вектор (так как de есть скаляр, а dxi — 4-вектор). Значит, и справа должен стоять 4-вектор. Но dVdt есть скаляр, а потому ρdxi/dt есть 4-вектор. Этот вектор (обозначим его через ji) носит название 4-вектора плотности тока:

ji = ρ .                              (28.2)

Его три пространственные компоненты образуют трехмерную плотность тока

jρv;                                 (28.3)

v есть скорость заряда в данной точке. Временная же составляющая 4-вектора (28.2) есть . Таким образом,

ji = (cρ,j).                             (28.4)

Полный заряд, находящийся во всем пространстве, равен интегралу ρdV по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырехмерном виде:

ρdV j0dV = jidSi,               (28.5)

где интегрирование производится по всей четырехмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси x0 (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трехмерному пространству). Вообще интеграл ∫jidSi, взятый по любой гиперповерхности, есть сумма зарядов, мировые линии которых пересекают эту гиперповерхность.

Введем 4-вектор тока в выражение (27.7) для действия и преобразуем второй член в этом выражении. Введя вместо точечных зарядов е непрерывное распределение с плотностью ρ, напишем этот член в виде

ρAidxidV,

заменив сумму по зарядам интегралом по всему объему. Переписав его как

ρ AdV dt,

мы видим, что этот член равен

Aji dΩ,

Таким образом, действие S принимает вид

S = −mc ds Aji dΩ Fik Fik dΩ.          (28.6)