24 | 09 | 2017

Четырехмерный вектор тока

Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести плотность заряда ρ так, что ρdV есть заряд, находящийся в объеме dV; ρ есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от ρ по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме.

При этом надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность ρ равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл  ρdV должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому ρ можно написать с помощью δ-функций в следующем виде:

ρ = eaδ(rra),                              (28.1)

где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а ra — радиус-вектор заряда ea.

δ-функция определяется следующим образом: δ(x)=0 при всех не равных нулю значениях x; при x=0 δ(0)=, причем так, что интеграл

δ(x) dx = 1.

Из этого определения вытекают следующие свойства: если f(x) — любая непрерывная функция, то

f(x) δ(xa) dx = f(a);

в частности,

f(x) δ(x) dx = f(0);

(пределы интегрирования, разумеется, не обязательно должны быть ±; областью интегрирования может быть любая область, заключающая ту точку, в которой δ-функция не исчезает).

Смысл следующих равенств заключается в том, что их левая и правая части дают одинаковые результаты, если их применять в качестве множителей под знаком интегрирования:

δ(−x) = δ(x),  δ(ax) =  δ(x).

Последнее равенство является частным случаем более общего соотношения

δ[φ(x)] = δ(xai),

где φ(x) — однозначная функция (обратная ей функция не обязана быть однозначной), а ai — корни уравнения φ(x)=0.