20 | 11 | 2017

Действие для электромагнитного поля

Действие S для всей системы, состоящей из электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, должно состоять из трех частей:

S = Sf + Sm + Smf.                          (27.1)

 

Sm есть та часть действия, которая зависит только от свойств частиц, т. е. действие для свободных частиц. Для одной свободной частицы оно дается формулой (8.1). Если имеется несколько частиц, то их общее действие равно сумме действий для каждой частицы в отдельности. Таким образом,

Smf = −mc ds.                          (27.2)

Smf есть та часть действия, которая обусловлена взаимодействием между частицами и полем. Согласно четырехмерному потенциалу поля имеем для системы частиц:

Smf = − Ak dxk.                     (27.3)

В каждом из членов этой суммы Ak есть потенциал поля в той точке пространства и времени, в которой находится соответствующая частица. Сумма Sm+Smf — уже известное нам действие (16.1) для зарядов в поле.

Наконец, Sf есть та часть действия, которая зависит только от свойств самого поля, т. е. Sf — действие для поля в отсутствие зарядов. До тех пор, пока мы интересовались только движением зарядов в заданном электромагнитном поле, Sf, как не зависящее от частиц, нас не интересовало, так как этот член не мог повлиять на уравнения движения частицы. Он становится, однако, необходимым, когда мы хотим найти уравнения, определяющие само поле. Этому соответствует то обстоятельство, что из части Sm+Smf действия мы нашли только два уравнения, (26.1), (26.2), которые еще недостаточны для полного определения поля.

Для установления вида действия поля Sf мы будем исходить из следующего весьма важного свойства электромагнитных полей. Как показывает опыт, электромагнитное поле подчиняется так называемому принципу суперпозиции: поле, создаваемое системой зарядов, представляет собой результат простого сложения полей, которые создаются каждым из зарядов в отдельности. Это значит, что напряженности результирующего поля в каждой точке равны сумме (векторной) напряженностей в этой точке каждого из полей в отдельности.