20 | 11 | 2017

Первая пара уравнений Максвелла

Согласно теореме Стокса

rot E df = E dl,

где интеграл справа берется по замкнутому контуру, огибающему поверхность, по которой интегрируется слева. Из (26.1) находим, интегрируя обе части по некоторой поверхности:

E dl  H df.                                 (26.4)

Интеграл вектора по замкнутому контуру называется циркуляцией этого вектора по контуру. Циркуляцию электрического поля называют также электродвижущей силой в данном контуре. Таким образом, электродвижущая сила в некотором контуре равна взятой с обратным знаком производной по времени от потока магнитного поля через поверхность, ограничиваемую этим контуром.

Уравнения Максвелла (26.1), (26.2) можно написать и в четырехмерных обозначениях. Исходя из определения тензора электромагнитного поля

Fik − ,

легко убедиться, что

= 0.                                 (26.5)

Выражение, стоящее в левой части равенства, представляет собой тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем индексам. Его компоненты не равны тождественно нулю лишь при i≠k≠l. Всего, таким образом, имеется четыре различных уравнения, которые, как легко убедиться подстановкой выражений (23.5), совпадают с уравнениями (26.1), (26.2).

Антисимметричному 4-тензору третьего ранга можно привести в соответствие дуальный ему 4-вектор, получающийся умножением тензора на eiklm и упрощением по трем парам индексов. Таким образом, (26.5) можно написать в виде

eiklm  = 0,    (26.6)

явно выражающем тот факт, что здесь имеется всего четыре независимых уравнения.