18 | 11 | 2017

Первая пара уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла—основные уравнения электродинамики — были впервые сформулированы Дж. Максвеллом в 1860-х годах.

Из выражений

H = rot AЕ = −   − grad φ

легко получить уравнения, содержащие только E и H. Для этого определим rotE:

rot Е =   rot A − rot grad φ.

Подробнее: Первая пара уравнений Максвелла

Действие для электромагнитного поля

Действие S для всей системы, состоящей из электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, должно состоять из трех частей:

S = Sf + Sm + Smf.                          (27.1)

 

Подробнее: Действие для электромагнитного поля

Четырехмерный вектор тока

Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести плотность заряда ρ так, что ρdV есть заряд, находящийся в объеме dV; ρ есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от ρ по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме.

Подробнее: Четырехмерный вектор тока

Уравнение непрерывности

Изменение со временем заряда, находящегося в некотором объеме, дается производной

ρ dV.

Подробнее: Уравнение непрерывности

Вторая пара уравнений Максвелла

При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия мы должны считать заданным движение зарядов и должны варьировать только потенциалы поля (играющие здесь роль «координат» системы); при нахождении уравнений движения мы, наоборот, считали поле заданным и варьировали траекторию частицы.

Подробнее: Вторая пара уравнений Максвелла

Плотность и поток энергии

Умножим обе части уравнения (30.3) на Е, а обе части уравнения (26.1) на Н и сложим полученные уравнения почленно:

= − jE − (H rot EE rot H).

Подробнее: Плотность и поток энергии

Тензор энергии-импульса

В предыдущем параграфе мы вывели выражение для энергии электромагнитного поля. Выведем это выражение, вместе с выражением для импульса поля, в четырехмерной форме. При этом мы будем для простоты рассматривать пока электромагнитное поле без зарядов. Имея в виду дальнейшее применение (к гравитационным полям), а также упрощение выкладок, мы проделаем вывод в общем виде, не конкретизируя род системы.

Подробнее: Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Применим теперь полученные в предыдущем параграфе общие соотношения к электромагнитному полю. Для электромагнитного поля величина Λ, стоящая под знаком интеграла (32.1), равна, согласно (27.4),

Λ = − Fkl Fkl.

Подробнее: Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Теорема вириала

Поскольку след тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю, то сумма Tii для любой системы взаимодействующих частиц сводится к следу тензора энергии-импульса одних лишь частиц. Воспользовавшись выражением (33.5), имеем:

Tii = T(ч)ii = μcuiui = μc = μc2 .

Подробнее: Теорема вириала

Тензор энергии-импульса макроскопических тел

Наряду с тензором энергии-импульса системы точечных частиц (33.5) нам понадобится в дальнейшем выражение этого тензора для макроскопических тел, рассматриваемых как сплошные.

Подробнее: Тензор энергии-импульса макроскопических тел