18 | 11 | 2017

Функция Лагранжа системы материальных точек

Подставляя эти выражения в функцию

Lmα() − U,

получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид

Lαik (q)i k − U (q),                   (5.5)

где αik — функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть также и от координат.

До сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рассмотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую с другой системой В, совершающей заданное движение. В таком случае говорят, что система А движется в заданном внешнем поле (создаваемом системой В). Поскольку зфавнения движения получаются из принципа наименьшего действия путем независимого варьирования каждой из координат (т.е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа LA системы А воспользоваться лагранжевой функцией L всей системы А + В, заменив в ней координаты qB заданными функциями времени.

Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь

L = ТA(qA,A) + Тв{qB,B) − U (qA,qB),

где первые два члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциальную энергию. Подставив вместо дв заданные функции времени и опустив член Т(qB(t),B(t)), зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой другой функции времени), получим

LA = ТA(qA,A) − U (qA,qB(t)).

Таким образом, движение системы во внешнем поле описывается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличием, что теперь потенциальная энергия может зависеть от времени явно.

Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа

L − U (r,t )                              (5.6)

и уравнение движения

= − .                                        (5.7)

Однородным называют поле, во всех точках которого на частицу действует одна и та же сила F. Потенциальная энергия в таком поле, очевидно, равна

U = − Fr.                                              (5.8)

В заключение этой статьи сделаем еще следующее замечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т.е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел.

Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т.п. Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики.

Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (5.5) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы.