18 | 11 | 2017

Функция Лагранжа свободной материальной точки

Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай — свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея.

Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К' с бесконечно малой скоростью ε, то v' = v + ε. Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа  L(2) должна при таком преобразовании перейти в функцию L', которая если и отличается от L(2), то лишь на полную производную от функции координат и времени.

Имеем

L’ = L(2) = L(2+2vε+ε2).

Разлагая это выражение в ряд по степеням ε и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получаем

L(2) =  L(2) + 2vε.

Второй член первой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости v линейно. Поэтому ∂L/∂2 от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости:

L 2 ,                           (4.1)

где т — постоянная.

Из того что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что функция Лагранжа удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости V системы отсчета К относительно К'. Действительно,

L’ = 2 = (v+V)2 2 + 2  vV +   V2

или

L’ = L + (2 r V + V2t ).

Второй член является полной производной и может быть опущен.

Величина m называется массой материальной точки. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих точек имеем

L                      (4.2)

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениях движения. Для функции (4.2) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл

S = dt

имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал
бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицатель-
ные значения, т.е. не имел бы минимума.

Полезно заметить, что

2 .                                   (4.3)

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги dl в соответствующей системе координат.

В декартовых координатах, например, dl2 = dx2 + dy2 + dz2, и, следовательно,

L = (22 + 2);                                (4.4)

в цилиндрических dl2 = dr2 + r22 + dz2 и

L = (2 + r2 + 2);                                   (4.5)

в сферических dl2 = dr2 + r22r2 sin2Θdφ2 и

L = (2 + r22r2sin2Θ2).                        (4.6)