24 | 09 | 2017

Принцип наименьшего действия

При наличии нескольких степеней свободы в принципе наименьшего действия должны независимо варьироваться s различных функций qi(t). Очевидно, что тогда мы получаем s уравнений:

  −  = 0                       (2.6)

Это — искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранжа. Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то уравнения (2.6) устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т.е. представляют собой уравнения движения системы.

С математической точки зрения уравнения (2.6) составляют систему s уравнений второго порядка для s неизвестных функций qi(t). Общее решение такой системы содержит 2s произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий, характеризующих состояние системы в некоторый заданный момент времени, например знание начальных значений всех координат и скоростей.

Пусть механическая система состоит из двух частей А и В, каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа соответственно функции LA и LB. Тогда в пределе, при разведении частей настолько далеко, чтобы взаимодействием между ними можно было пренебречь, лагранжева функция всей системы стремится к пределу

limL = LA + LB.             (2.7)

Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает собой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы.

Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической системы на произвольную постоянную само по себе не отражается на уравнениях движения. Отсюда, казалось бы, могла вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа различных изолированных механических систем могли бы умножаться на любые различные постоянные. Свойство аддитивности устраняет эту неопределенность, — оно допускает лишь одновременное умножение лагранжевых функций всех систем на одинаковую постоянную, что сводится просто к естественному произволу в выборе единиц измерения этой физической величины.

Необходимо сделать еще следующее общее замечание. Рассмотрим две функции L′(q,,t) и L(q,,t), отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функции координат и времени ƒ(q,t):

L’ (q,,t) = L (q,,t) +  ƒ(q,t).                (2.8)

Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (2.1) связаны соотношением

S’ =L′ (q,,t) dt =L (q,,t) dt + dt = S +ƒ(q(2),t2) − ƒ(q(1),t1),

т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие δS'=0 совпадает с условием δS = 0, и вид уравнений движения остается неизменным.

Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.