18 | 11 | 2017

Обобщенные координаты

Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки Под материальной точкой понимают тело, размерами которого при описании его движения можно пренебречь. Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты можно считать материальными точками при изучении их движения вокруг Солнца, но, конечно, этого делать нельзя при рассмотрении их суточного вращения.

Положение материальной точки в пространстве определяется ее радиус-вектором г, компоненты которого совпадают с ее декартовыми координатами x, y, z. Производная г по времени t


называется скоростью, а вторая производная d2r/dt2 — ускорением точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать дифференцирование по времени точкой над буквой: V=.

Для определения положения системы из N материальных точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т.е. 3N координат.

Вообще число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы; в данном случае это число равно ЗN. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо других координат.

Любые s величин q1, q2, ..., qs, вполне характеризующие положение системы (с s степенями свободы), называют ее обобщенными координатами, а производные i — ее обобщенными скоростями.

Задание значений обобщенных координат еще не определяет, однако, «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать положение системы в последующие моменты времени. При заданных значениях координат система может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значения последних будет различным и положение системы в следующий момент времени (т.е. через бесконечно малый временной интервал dt).

Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат q и скоростей в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений  в этот момент).

Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения. По отношению к функциям q(t) это — дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирование которых позволяет в принципе определить эти функции, т.е. траектории движения механической системы.