24 | 09 | 2017

Обобщенные координаты

Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки Под материальной точкой понимают тело, размерами которого при описании его движения можно пренебречь. Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты можно считать материальными точками при изучении их движения вокруг Солнца, но, конечно, этого делать нельзя при рассмотрении их суточного вращения.

Подробнее: Обобщенные координаты

Принцип наименьшего действия

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией

Подробнее: Принцип наименьшего действия

Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее просто.

Подробнее: Принцип относительности Галилея

Функция Лагранжа свободной материальной точки

Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай — свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея.

Подробнее: Функция Лагранжа свободной материальной точки

Функция Лагранжа системы материальных точек

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих только друг с другом, т.е. ни с какими посторонними телами не взаимодействующих; такую систему называют замкнутой. Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек (4.2) определенной (зависящей от характера взаимодействия) функции координат. Обозначив эту функцию через — U, напишем

L − U (r1, r2, ... )                     (5.1)

(гα — радиус-вектор α-й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы.

Подробнее: Функция Лагранжа системы материальных точек