24 | 09 | 2017

Рассеяние под малыми углами

Вычисление эффективного сечения значительно упрощается, если рассматривать лишь те столкновения, которые происходят на больших прицельных расстояниях, где поле U является слабым, так что углы отклонения соответственно малы. При этом вычисление можно производить сразу в лабораторной системе отсчета, не вводя систему центра инерции.

Выберем ось х по направлению первоначального импульса рассеиваемых частиц (частицы m1), а плоскость xy — в плоскости рассеяния. Обозначив через p’1, импульс частицы после рассеяния, имеем очевидное равенство

sin θ1 = .

Для малых отклонений можно приближенно заменить sin θ1 на θ1, а в знаменателе — заменить p’1 первоначальным импульсом p1=m1:

θ1p'1y / (m1).                                        (20.1)

Далее, поскольку  = Fy, то полное приращение импульса вдоль оси у

p'1yF dt.                                               (20.2)

При этом сила

Fy = − = −   = − .

Поскольку интеграл (20.2) уже содержит малую величину U, то при его вычислении можно в том же приближении считать, что частица вовсе не отклоняется от своего первоначального пути, т.е. движется прямолинейно (вдоль прямой y=ρ) и равномерно (со скоростью ). Соответственно этому полагаем в (20.2)

Fy = − ;   dt

и получаем

p'1y = − .

Наконец, от интегрирования по dx перейдем к интегрированию по dr. Поскольку для прямолинейного пути r2=x22, то при изменении x от − до + r изменяется от до ρ и затем снова до . Поэтому интеграл по dx перейдет в двойной интеграл по dr от ρ до , причем dx заменяется на

dx .

Окончательно получим для угла рассеяния (20.1) следующее выражение:

θ1 = ,                                  (20.3)

чем и определяется искомая зависимость θ1 от ρ при слабом отклонении. Эффективное сечение рассеяния (в л-системе) получается по такой же формуле, как (18.8) (с θ1 вместо X), причем sinθ1 можно и здесь заменить на θ1:

dσ = d 01.                                              (20.4)