24 | 09 | 2017

Упругие столкновения частиц

Столкновение двух частиц называют упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Соответственно этому при применении к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц.

Проще всего столкновение выглядит в системе отсчета, в которой центр инерции обеих частиц покоится (ц-система); будем отличать, как и в предыдущем параграфе, индексом 0 значения величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в ц-системе связаны с их скоростями v1 и v2 в лабораторной системе соотношениями

v10 = v,   v20 = − v,

где vv1 − v2 (см. (13.2)).

В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в ц-системе к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозначить через n0 единичный вектор в направлении скорости частицы m1 после столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (отличаем их штрихом) будут

v’10 = n0,   v’20 = − n0.                    (17.1)

Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость V центра инерции. Таким образом, для скоростей частиц в л-системе после столкновения получаем

v’1 = n0 ,  v’2 = − n0 .        (17.2)

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения импульса и энергии. Что касается направления вектора n0, то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения.

Полученные результаты можно интерпретировать геометрически. При этом удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства (17.2) соответственно на m1 и m2, получим

p1 = mn0 (p1 + p2), р2 = −mn0 +  (p1 + p2)  (17.3)

(m = m1m2/(m1 + m2) — приведенная масса). Построим окружность с радиусом m и произведем указанное на рис. 15 построение.

Рис. 15

Если единичный вектор по направлен вдоль , то векторы  и  дают соответственно импульсы p1 и р2. При заданных p1 и р2 радиус окружности и положение точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности.

Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это будет частица m2) до столкновения покоилась. В этом случае длина ОВ =   p1m совпадает с радиусом, т.е. точка В лежит на окружности. Вектор же  совпадает с импульсом p1 первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (если m1<m2) или вне (если m1>m2) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 16 а и б.

Рис. 16