18 | 11 | 2017

Момент импульса

Как известно из классической механики, у замкнутой системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент импульса, т. е. вектор

M = [rp]

(r и p — радиус-вектор и импульс частицы; суммирование производится по всем частицам, входящим в состав системы). Сохранение момента является следствием того, что функция Лагранжа для замкнутой системы в силу изотропии пространства не меняется при повороте системы как целого.

Проделав теперь аналогичный вывод в четырехмерном виде, мы получим релятивистское выражение для момента. Пусть xi — координаты одной из частиц системы. Произведем бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве. Это есть преобразование, при котором координаты xi принимают новые значения x'i, так что разности x'ixi являются линейными функциями:

x'ixi = xk δ Ωik,                                            (14.1)

с бесконечно малыми коэффициентами δΩik. Компоненты 4-тензора связаны при этом соотношениями, возникающими в результате требования, чтобы при повороте оставалась неизменной длина 4-радиус-вектора, т. е. чтобы было x'ix'i=xixi. Подставляя сюда x'i из (14.1) и отбрасывая члены, квадратичные по δΩik, как бесконечно малые высшего порядка, находим

xixk δΩik = 0.

Это равенство должно выполняться при произвольных xi. Поскольку xixk — симметричный тензор, δΩik должны составлять антисимметричный тензор (произведение симметричного тензора на антисимметричный, очевидно, тождественно равно нулю):

δΩki = −δΩik.                                                   (14.2)

Изменение действия при бесконечно малом изменении координат начальной a и конечной b точек траектории имеет вид

δS = − piδxi

(суммирование производится по всем частицам системы). В случае рассматриваемого нами сейчас поворота δxi=δΩikxk, а потому

δS = − δΩik pixk.

Если разбить тензор pixk на симметричную и антисимметричную части, то первая из них при умножении на антисимметричный тензор тождественно дает нуль. Поэтому, выделяя из pixk антисимметричную часть, мы можем написать предыдущее равенство в виде

δS = − δΩik  (pixkpkxi) .                                  (14.3)

Для замкнутой системы действие, будучи инвариантом, не меняется при повороте в 4-пространстве. Это означает, что должны быть равны нулю коэффициенты при δΩik в (14.3):

(pixkpkxi)b(pixkpkxi)a.

Мы видим, что у замкнутой системы остается постоянным при движении, т.е. сохраняется, тензор

Mik = (pixkpkxi).                                              (14.4)

Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора момента.