18 | 11 | 2017

Упругие столкновения частиц

Рассмотрим, с точки зрения релятивистской механики, упругое столкновение частиц. Обозначим импульсы и энергии двух сталкивающихся частиц (с массами m1 и m2) через p11 и p22; значения величин после столкновения будем отмечать штрихом.

Законы сохранения энергии и импульса при столкновении можно записать вместе в виде уравнения сохранения 4-импульса:

                                          (13.1)

Составим из этого 4-векторного уравнения инвариантные соотношения, которые будут удобными для дальнейших вычислений. Для этого перепишем (13.1) в виде

 − =

и возведем обе части равенства в квадрат (т.е. напишем их скалярные произведения самих на себя). Замечая, что квадраты 4-импульсов  и равны , а квадраты  и  равны , получим

 − p1i − p2i = 0.                        (13.2)

Аналогичным образом, возведя в квадрат равенство +=, получим

 − p2i − p1i = 0.                        (13.3)

Рассмотрим столкновение в системе отсчета (л-система), в которой до столкновения одна из частиц (частица m2) покоилась.
Тогда p2=0, 2=m2 и фигурирующие в (13.2) скалярные произведения равны

= 1m2,  p2i = m2,  p1i1p1 cos θ1,   (13.4)

где θ1 — угол рассеяния налетающей частицы m1. Подставив эти выражения в (13.2), получим

cos θ1 = .                         (13.5)

Аналогичным образом из (13.3) найдем

cos θ2 = ,                                  (13.6)

где θ2 — угол, образуемый импульсом отдачи  с импульсом налетающей частицы p1.

Формулы (13.5), (13.6) связывают углы рассеяния обеих частиц в л-системе с изменениями их энергии при столкновениях. Обращая эти формулы, можно выразить энергии  через угол θ1 или θ2. Так, подставив в (13.6) p1=, =и возведя равенство в квадрат, после простого вычисления получим

= m2 .                 (13.7)

Обращение же формулы (13.5) приводит в общем случае к весьма громоздкому выражению  через θ1.

Отметим, что если m1>m2, т.е. налетающая частица тяжелее покоящейся, то угол рассеяния θ1 не может превышать некоторого максимального значения. Элементарным вычислением легко найти, что это значение определяется равенством

sin θ1max = ,                                                      (13.8)

совпадающим с известным классическим результатом.