28 | 06 | 2017

Преобразование функции распределения

Вернемся к инвариантному выражению (10.1). Если ввести «сферические координаты» в импульсном пространстве, то элемент объема dpxdpydpz заменится на p2dpdo, где do—элемент телесного угла для направлений вектора p. Замечая, что pdp=d/c2 (согласно (9.6)), имеем

= .

Таким образом, находим, что инвариантно также и выражение

pddo.                                             (10.3)

В другом аспекте понятие о функции распределения фигурирует в кинетической теории газов: произведение f(r,p)dpxdpydpzdV есть число частиц, находящихся в заданном элементе объема dV и обладающих импульсами в заданных интервалах dpx, dpy, dpz. Функцию f(r,p) называют функцией распределения в фазовом пространстве (пространство координат и импульсов частицы), а произведение дифференциалов =d3pdV — элементом объема этого пространства. Выясним закон преобразования этой функции.

Введем наряду с двумя системами отсчета K и K' еще и систему K0, в которой частицы с рассматриваемым импульсом покоятся; именно по отношению к этой системе определяется собственный объем dV0 элемента, занимаемого данными частицами. Скорости систем K и K' относительно системы K0 совпадают, по определению, со скоростями v и v', которыми обладают эти частицы в системах K и K'. Согласно (4.6) имеем поэтому

dV = dV0dV' = dV0,

откуда

Перемножив это равенство с равенством d3pd3p'=', найдем, что

'                                        (10.4)

т. е. элемент фазового объема инвариантен. Поскольку инвариантом является, по определению, также и число частиц fdτ, то мы приходим к выводу об инвариантности функции распределения в фазовом пространстве:

f'(r',p') = f(r,p),                               (10.5)

где r', p' связаны с r, p формулами преобразования Лоренца.