24 | 09 | 2017

Преобразование функции распределения

В различных физических вопросах приходится иметь дело с пучками частиц, обладающих различными импульсами. Состав такого пучка, его импульсный спектр, характеризуется функцией распределения частиц по импульсам: f(p)dpxdpydpz есть доля числа частиц, обладающих импульсами с компонентами в заданных интервалах dpx, dpy, dpz (или, как говорят для краткости, число частиц в заданном элементе объема d3p≡dpxdpydpz «импульсного пространства»). В связи с этим возникает вопрос о законе преобразования функции распределения f(p) от одной системы отсчета к другой.

Для решения этого вопроса выясним предварительно свойства «элемента объема» dpxdpydpz по отношению к преобразованию Лоренца. Если ввести четырехмерную систему координат, на осях которой откладываются четыре компоненты 4-импульса частицы, то dpxdpydpz можно рассматривать как нулевую компоненту элемента гиперповерхности, определяемой уравнением pipi=m2c2. Элемент гиперповерхности есть 4-вектор, направленный по нормали к ней; в данном случае направление нормали совпадает, очевидно, с направлением 4-вектора pi. Отсюда следует, что отношение

,                                                 (10.1)

как отношение одинаковых компонент двух параллельных 4-векторов, есть величина инвариантная.

Очевидным инвариантом является также доля числа частиц fdpxdpydpz, не зависящая от выбора системы отсчета. Написав ее в виде

f(p)

и учитывая инвариантность отношения (10.1), мы приходим к выводу об инвариантности произведения f(p). Отсюда следует, что функция распределения в системе K' связана с функцией распределения в системе K соотношением

f'(p'),                                             (10.2)

причем p и  должны быть выражены через p' и ' с помощью формул преобразования (9.15).