20 | 11 | 2017

Энергия и импульс

Таким образом, в релятивистской механике импульс и энергия являются компонентами одного 4-вектора. Отсюда непосредственно вытекают формулы преобразования импульса и энергии от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подставив в общие формулы (6.1) преобразования 4-вектора выражения (9.13), находим

px = py = p'y pz = p'z ,  ,     (9.15)

где px, py, pz — компоненты трехмерного вектора p.

Из определения 4-импульса (9.14) и тождества uiui=1 имеем для квадрата 4-импульса свободной частицы:

pipi = m2c2.                                                      (9.16)

Подставив сюда выражения (9.13), вернемся к соотношению (9.6).

По аналогии с обычным определением силы 4-вектор силы можно определить как производную:

gi = mc .                                             (9.17)

Его компоненты удовлетворяют тождеству giui=0. Компоненты этого 4-вектора выражаются через обычный трехмерный вектор силы f=dp/dt согласно

gi = , .                  (9.18)

Временная компонента оказывается связанной с работой силы.

Релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби получается подстановкой в (9.16) производных — ∂S/∂xi вместо pi:

gik  = m2c2,                             (9.19)

или, если написать сумму в явном виде

= m2c2.          (9.20)

Переход к предельному случаю классической механики в уравнении (9.20) совершается следующим образом. Прежде всего необходимо учесть, как и при соответствующем переходе в (9.7), что в релятивистской механике энергия частицы содержит член mc2, которого нет в классической механике. Поскольку действие S связано с энергией выражением =−∂S/∂t, то при переходе к классической механике надо вместо S ввести новое действие S' согласно соотношению

S = S' − mc2t.

Подставляя его в (9.20), находим

−  + + = 0.

В пределе при c это уравнение переходит в известное классическое уравнение Гамильтона-Якоби.