18 | 11 | 2017

Энергия и импульс

Импульсом частицы называется, как известно, вектор р=∂L/∂v (L/∂v — символическое обозначение вектора, компоненты которого равны производным от L по соответствующим компонентам v). С помощью (8.2) находим

p                                                    (9.1)

При малых скоростях (v<<c) или в пределе при c это выражение переходит в классическое p=mv. При v=c импульс обращается в бесконечность.

Производная от импульса по времени есть сила, действующая на частицу. Пусть скорость частицы изменяется только по направлению, т.е. сила направлена перпендикулярно скорости. Тогда

.                                        (9.2)

Если же скорость меняется только по величине, т. е. сила направлена по скорости, то

   = .                                 (9.3)

Мы видим, что в обоих случаях отношение силы к ускорению различно.

Энергией  частицы называется величина

= pv − L.

Подставляя сюда выражения (8.2) и (9.1) для L и p, получим

= .                                               (9.4)

Эта очень важная формула показывает, в частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при v=0, а остается конечной величиной, равной

= mc2.                                                             (9.5)

Ее называют энергией покоя частицы.

При малых скоростях (v<<c) имеем, разлагая (9.4) по степеням v/c:

 ≈ mc2,

т. е. за вычетом энергии покоя классическое выражение для кинетической энергии частицы.

Подчеркнем, что хотя мы говорим здесь о «частице», но ее «элементарность» нигде не используется. Поэтому полученные формулы в равной степени применимы и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц, причем под m надо понимать полную массу тела, а под v — скорость его движения как целого. В частности, формула (9.5) справедлива и для любого покоящегося как целое тела. Обратим внимание на то, что энергия свободного тела (т.е. энергия любой замкнутой системы) оказывается в релятивистской механике вполне определенной, всегда положительной величиной, непосредственно связанной с массой тела. Напомним в этой связи, что в классической механике энергия тела определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной, и может быть как положительной, так и отрицательной.

Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, mc2 не равно сумме ∑mαc2 (mα — массы частиц), а потому и m не равно mα. Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет место только закон сохранения энергии, в которую включается также и энергия покоя частиц.

Возводя выражения (9.1) и (9.4) в квадрат и сравнивая их, найдем следующее соотношение между энергией и импульсом частицы:

= p2 + m2c2.                                                (9.6)

Энергия, выраженная через импульс, называется, как известно, функцией Гамильтона :

= c .                                         (9.7)