24 | 09 | 2017

Принцип наименьшего действия

Коэффициент L при dt называется, как известно, функцией Лагранжа для данной механической системы. С помощью (3.1) находим

S = −c dt,

где v — скорость материальной частицы. Функция Лагранжа для частицы есть, следовательно,

L = c .

Величина , как уже отмечалось, характеризует данную частицу. В классической механике всякая частица характеризуется ее массой m. Определим связь величин  и m. Она находится из условия, что при предельном переходе c→∞ наше выражение для L должно перейти в классическое выражение

L = .

Для осуществления этого перехода разложим L в ряд по степеням v/c. Тогда, опуская члены высших порядков, получаем

L = cc + .

Постоянные члены в функции Лагранжа не отражаются на уравнениях движения и могут быть опущены. Опустив в L постоянную c и сравнив с классическим выражением L=mv2/2, найдем, что =mc.

Таким образом, действие для свободной материальной точки равно

S = − mcds,                     (8.1)

а функция Лагранжа

.                   (8.2)