26 | 07 | 2017

Принцип наименьшего действия

При исследовании движения материальных частиц мы будем исходить из принципа наименьшего действия. Этот принцип заключается в том, что для всякой механической системы существует такой интеграл S, называемый действием, который для действительного движения имеет минимум и вариация δS которого, следовательно, равна нулю.

Определим интеграл действия для свободной материальной частицы, т. е. частицы, не находящейся под действием каких-либо внешних сил.

Для этого заметим, что этот интеграл не должен зависеть от выбора той или иной инерциальной системы отсчета, т. е. он должен быть инвариантом относительно преобразований Лоренца. Отсюда следует, что он должен быть взят от скаляра. Далее, ясно, что под интегралом должны стоять дифференциалы в первой степени. Однако единственный такой скаляр, который можно построить для свободной материальной частицы, есть интервал ds или ds, где —некоторая постоянная.

Итак, действие для свободной частицы должно иметь вид

S = − ds,

где интеграл берется вдоль мировой линии между двумя заданными событиями a и b — нахождением частицы в начальном и конечном местах в определенные моменты времени t1 и t2, т. е. между заданными мировыми точками;  есть некоторая постоянная, характеризующая данную частицу. Легко видеть, что для всех частиц о; должна быть положительной величиной. Действительно интеграл ds имеет максимальное значение вдоль прямой мировой линии; интегрируя вдоль кривой мировой линии, можно сделать его сколь угодно малым.

Таким образом, интеграл, взятый с положительным знаком, не может иметь минимума; взятый же с обратным знаком он имеет минимум — вдоль прямой мировой линии.

Действие можно представить в виде интеграла по времени:

S = Ldt.