20 | 11 | 2017

Дифракция Френеля

Поэтому для нахождения интенсивности стоящий перед интегралом множитель не существен, так как при умножении на сопряженное выражение он дает единицу. Очевидной подстановкой интеграл приводится к виду

up ~ eiη2,              (60.3)

где

ω = d.    (60.4)

Таким образом, интенсивность I в точке Р равна

I = eiη2= C(ω2) + + S(ω2) + ,    (60.5)

где

C(z) =  cos η2S(z) = sin η2

— так называемые интегралы Френеля. Формула (60.5) решает поставленную задачу, определяя интенсивность света как функцию от d; I0 есть интенсивность в освещенной области в точках, достаточно удаленных от края тени, т. е. при ω≫1 (в пределе ω→∞ имеем С(∞)=S(∞)=1/2).

Области геометрической тени соответствуют отрицательные ω. Легко выяснить асимптотический вид функции I(ω) при больших по абсолютной величине отрицательных значениях ω. Для этого поступим следующим образом. Интегрируя по частям, имеем

eiη2eiω2 eiη2  .

Интегрируя в правой части равенства еще раз по частям и продолжая этот процесс, получим ряд по степеням 1⁄|ω|

eiη2eiω2 + − ....    (60.6)

Хотя бесконечный ряд такого вида и не является сходящимся, но ввиду того, что при больших |ω| величина его последовательных членов быстро падает, уже первый его член дает хорошее представление стоящей слева функции при достаточно больших |ω| (ряды такого рода называются асимптотическими). Таким образом, для интенсивности I(ω) (60.5) получим следующую асимптотическую формулу, пригодную для больших отрицательных значений ω:

I = .                              (60.7)

Мы видим, что в области геометрической тени, вдали от ее края интенсивность стремится к нулю обратно пропорционально квадрату расстояния от края тени.