24 | 09 | 2017

Пределы геометрической оптики

По определению плоской монохроматической волны ее амплитуда везде и всегда одинакова. Такая волна бесконечна по всем направлениям в пространстве и существует на протяжении всего времени от −∞ до +∞. Всякая же волна с не везде и не всегда постоянной амплитудой может быть лишь более или менее монохроматической. Мы займемся теперь выяснением вопроса о степени немонохроматичности волн.

Рассмотрим электромагнитную волну с амплитудой, являющейся в каждой точке пространства функцией времени. Пусть ω0 есть некоторая средняя частота волны. Тогда поле волны (например электрическое) в данной точке имеет вид E0(t)e−iω0t. Это поле, не являющееся, конечно, само монохроматическим, можно, однако, разложить на монохроматические компоненты, т. е. в интеграл Фурье. Амплитуда компоненты этого разложения с частотой ω пропорциональна интегралу

E0(t)ei(ω−ω0)tdt.

Множитель ei(ω−ω0)t является периодической функцией, среднее значение которой равно нулю. Если бы Е0 было вообще постоянным, то интеграл был бы в точности равен нулю при всех ωω0. Если же Е0(t) переменно, но почти не меняется на протяжении промежутков времени порядка 1/|ωω0|, то интеграл почти равен нулю, тем точнее, чем медленнее меняется Е0. Для того чтобы интеграл был заметно отличен от нуля, необходимо, что-бы Е0(t) заметно менялось на протяжении промежутка времени
порядка 1/|ωω0|.

Обозначим через Δt порядок величины промежутка времени, в течение которого амплитуда волны в данной точке пространства заметно меняется. Из приведенных соображений следует теперь, что наиболее отличающиеся от ω0 частоты, входящие в спектральное разложение этой волны с заметными интенсивностями, определяются из условия 1/|ωω0|t. Если обозначить через Δω интервал частот (вокруг средней частоты ω0) в спектральном разложении, то, следовательно, имеет место соот-
ношение

Δω · Δt ~ 1.                               (58.1)