20 | 11 | 2017

Тонкие пучки лучей

Для нахождения общих количественных соотношений, определяющих отображения с помощью тонких пучков, проходящих через аксиально-симметричные оптические системы, воспользуемся уравнениями (55.6), определив предварительно вид функции χ в рассматриваемом случае.

Поскольку пучки лучей тонкие и идут вблизи оптической оси, то векторы n и n' для каждого пучка направлены почти вдоль этой оси. Если выбрать оптическую ось в качестве оси x, то компоненты ny, nz, n'y, n'z будут малы по сравнению с единицей. Что касается компонент nx, n'x, то nx≈1, а n'x может быть приближенно равным +1 или −1. В первом случае лучи продолжают идти почти в прежнем направлении, попадая в пространство по другую сторону оптической системы, которую в этом случае называют линзой. Во втором случае лучи изменяют направление на почти противоположное; такая оптическая система называется зеркалом.

Воспользовавшись малостью ny, nz, n'y, n'z, разложим угловой эйконал χ(ny, nz, n'y, n'z) в ряд и ограничимся первыми членами. В силу аксиальной симметрии всей системы, χ должно быть инвариантно по отношению к поворотам системы координат вокруг оптической оси. Отсюда видно, что членов первого порядка, пропорциональных первым степеням y- и z-компонент векторов n и n', в разложении χ не может быть, — эти члены не обладали бы требуемой инвариантностью. Из членов второго порядка требуемым свойством обладают квадраты n2n'2 и скалярное произведение nn'. Таким образом, с точностью до членов второго порядка угловой эйконал для аксиально-симметричной оптической системы имеет вид

χ = const + ( + ) + f(nyn'y + nzn'z) + ( + ),    (56.1)

где f, g, h — постоянные.

Мы будем рассматривать сейчас для определенности случай линзы, в связи с чем положим n'x≈1; для зеркал, как будет ниже указано, все формулы имеют аналогичный вид. Подставляя теперь выражение (56.1) в общие уравнения (55.6), находим

ny(x − g) − fn'y = yfny + п'у(x' + h) = у',  nz(x − g) − fn'z = zfnz + n'z(x' + h) = z'.   (56.2)