20 | 11 | 2017

Угловой эйконал

Если в ψ(r,r') один из радиус-векторов, скажем r', считать заданным, то ψ как функция от r будет описывать определенный пучок лучей, а именно пучок лучей, проходящих через точку r'. Тогда ψ должно удовлетворять уравнению (55.1), в котором дифференцирование производится по компонентам r. Аналогично, считая r заданным, находим еще одно уравнение для ψ(r,r'), так что

(∇ψ)2 = 1(∇'ψ)2 = 1.                        (55.2)

Направление луча определяется градиентом его фазы. Поскольку ψ(r,r') есть разность фаз в точках r' и r, то направление луча в точке r' определяется вектором n'=∂ψ/r', а в точке r — вектором n=−∂ψ/r. Из (55.2) видно, что векторы n и n' единичные:

n2n'2 = 1.                                          (55.3)

Четыре вектора r, r', nn' связаны между собой некоторым соотношением, поскольку два из них (n,n') являются производными по двум другим (r,r') от некоторой функции ψ. Что касается самой функции ψ, то она удовлетворяет дополнительным условиям — уравнениям (55.2).

Для нахождения соотношения между nn'r, r' удобно ввести вместо ψ другую величину, на которую бы не налагалось никаких дополнительных условий (т. е. которая не должна была бы удовлетворять каким-либо дифференциальным уравнениям). Это можно сделать следующим образом. В функции ψ независимыми переменными являются r и r', так что для дифференциала dψ имеем

dψ =  dr dr' = − n dr + n' dr'.

Произведем теперь преобразование Лежандра к независимым
переменным n и n' вместо r и r', т. е. напишем

dψ = − d(nr) + rdn + d(n'r') − r'dn',

откуда, вводя функцию

 

= n'r' − nr − ψ,                                         (55.4)

имеем

d = −rdn + r'dn'.                                         (55.5)