24 | 09 | 2017

Угловой эйконал

Идущий в пустоте луч света, попадая в какое-либо прозрачное материальное тело, имеет по выходе из этого тела направление, вообще говоря, отличное от первоначального. Это изменение направления зависит, конечно, от конкретных свойств тела и от его формы. Оказывается, однако, возможным вывести некоторые общие законы, относящиеся к изменению направления лучей света при прохождении через произвольные материальные тела. При этом предполагается только, что для лучей, распространяющихся внутри рассматриваемого тела, имеет место геометрическая оптика. Такие прозрачные тела, через которые пропускают лучи света, мы будем называть, как это принято, оптическими системами.

В силу указанной ранее аналогии между распространением лучей и движением частицы, те же общие законы справедливы и для изменения направления движения частиц, двигавшихся сначала прямолинейно в пустоте, затем проходящих через какое-нибудь электромагнитное поле и снова выходящих из этого поля в пустоту. Для определенности мы будем, однако, ниже говорить о распространении лучей света.

Мы видели, что уравнение эйконала, определяющее распространение лучей, может быть написано (для света с определенной частотой) в виде (53.11). Ниже мы будем для удобства обозначать буквой ψ эйконал ψ0, деленный на постоянную величину ω/с. Тогда основное уравнение геометрической оптики будет иметь вид

(∇ψ)2 = 1.                                          (55.1)

Каждое решение этого уравнения описывает собой определенный пучок лучей, причем направление луча, проходящего через данную точку пространства, определяется градиентом ψ в этой точке. Для наших целей, однако, такое описание недостаточно, поскольку мы ищем общие соотношения, определяющие прохождение через оптические системы не какого-либо одного определенного пучка лучей, а соотношения, относящиеся к любым лучам. Поэтому мы должны пользоваться эйконалом, взятым в таком виде, в котором он описывал бы все вообще возможные лучи света, т.е. лучи, проходящие через любую пару точек в пространстве. В обычной своей форме эйконал ψ(r) есть фаза луча из некоторого пучка, проходящего через точку r. Теперь же мы должны ввести эйконал как функцию ψ(r,r') координат двух точек (rr' — радиус-векторы начальной и конечной точек луча). Через всякую пару точек rr' можно провести луч, и ψ(r,r') есть разность фаз (или, как говорят, оптическая длина пути) этого луча между точками r и r'. Ниже мы будем везде подразумевать под r и r' радиус-векторы точек на луче соответственно до и после его прохождения через оптическую систему.