20 | 11 | 2017

Геометрическая оптика

Если волна обладает определенной постоянной частотой ω, то зависимость ее поля от времени определяется множителем вида e−iωt. Поэтому для эйконала такой волны мы можем написать:

= −ωt0(x,y,z) ,                                                 (53.10)

где 0 — функция только от координат. Уравнение эйконала (53.5) принимает теперь вид

(grad 0)2.                                                       (53.11)

Волновые поверхности являются поверхностями постоянного эйконала, т.е. семейством поверхностей вида 0(x,y,z)=const. Лучи же в каждой точке нормальны к соответствующей волновой поверхности; их направление определяется градиентом 0.

Как известно, в случае, когда энергия постоянна, принцип наименьшего действия для частицы можно написать также и в виде так называемого принципа Мопертюи:

δS = δpdl = 0,

где интегрирование производится по траектории частицы между двумя заданными ее положениями. Импульс предполагается при этом выраженным как функция от энергии и координат частицы. Аналогичный принцип для лучей называется принципом Ферма. В этом случае мы можем написать по аналогии:

δ = δkdl = 0.                                             (53.12)

В пустоте k=n, и мы получаем (ndl=dl):

δdl = 0,                                                      (53.13)

что и соответствует прямолинейному распространению лучей.