20 | 11 | 2017

Геометрическая оптика

Аналогия между волновым вектором волны и импульсом частицы в особенности ясно проявляется в следующем обстоятельстве. Рассмотрим волну, представляющую собой наложение монохроматических волн с частотами, лежащими в некотором небольшом интервале, и занимающую некоторую конечную область пространства (так называемый волновой пакет). Вычислим 4-им пульс поля этой волны, воспользовавшись формулой (32.6) с тензором энергии-импульса (48.15) (для каждой монохроматической компоненты). Заменяя в этой формуле ki некоторым его средним значением, получим выражение вида

Pi = Aki,                                                          (53.8)

где коэффициент пропорциональности A между двумя 4-векторами Pi и ki есть некоторый скаляр. В трехмерном виде это соотношение дает

P = Ak,   = .                                                        (53.9)

Таким образом, мы видим, что импульс и энергия волнового пакета преобразуются от одной системы отсчета к другой соответственно как волновой вектор и частота.

Продолжая аналогию, можно установить для геометрической оптики принцип, аналогичный принципу наименьшего действия в механике. Однако его при этом нельзя будет написать в гамильтоновой форме, δLdt=0, так как оказывается невозможным ввести для лучей функцию, аналогичную функции Лагранжа для частиц. Действительно, функция Лагранжа L частицы связана с функцией Гамильтона  посредством L=p/∂p. Заменяя функцию Гамильтона частотой ω;, а импульс — волновым вектором k, мы должны были бы написать для функции Лагранжа в оптике kω/∂kω. Но это выражение равно нулю, поскольку ω=ck. Невозможность введения функции Лагранжа для лучей видна, впрочем, и непосредственно из указанного выше обстоятельства, что распространение лучей аналогично движению частиц с массой, равной нулю.