20 | 11 | 2017

Геометрическая оптика

Укажем еще некоторые соотношения, которые, правда, в применении к распространению света в пустоте приводят лишь к заранее очевидным результатам. Существенно, однако, что в своей общей форме эти выводы применимы и к распространению света в материальных средах.

Из формы уравнения эйконала вытекает замечательная аналогия между геометрической оптикой и механикой материальных частиц. Движение материальной частицы определяется уравнением Гамильтона-Якоби (16.11). Это уравнение, как и уравнение эйконала, является уравнением в частных производных первого порядка и второй степени. Как известно, действие S связано с импульсом p и функцией Гамильтона  частицы соотношениями

p,   = .

Сравнивая эти формулы с формулами (53.3), мы видим, что волновой вектор волны играет в геометрической оптике роль импульса частицы в механике, а частота — роль функции Гамильтона, т.е. энергии частицы. Абсолютная величина k волнового вектора связана с частотой посредством формулы k=ω/c. Это соотношение аналогично соотношению p=/с между импульсом и энергией частицы с массой, равной нулю, и скоростью, равной скорости света.

Для частиц имеют место уравнения Гамильтона

= − ,  v = .

Ввиду указанной аналогии мы можем непосредственно написать подобные уравнения для лучей:

= − ,   = .                                                         (53.7)

В пустоте ω=ck, так что =0, v=cn (n — единичный вектор вдоль направления распространения), т.е., как и следовало, в пустоте лучи являются прямыми линиями, вдоль которых свет распространяется со скоростью c.