20 | 11 | 2017

Геометрическая оптика

В малых участках пространства и интервалах времени эйконал  можно разложить в ряд; с точностью до членов первою порядка имеем

= 0 + r t

(начало координат и начало отсчета времени выбраны в рассматриваемом участке пространства и интервале времени; значения производных берутся в начале координат). Сравнивая это выражение с (53.1), мы можем написать:

k ≡ grad ,  ω = − ,                                          (53.3)

в соответствии с тем, что в каждом небольшом участке пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассматривать как плоскую. В четырехмерном виде соотношения (53.3) напишутся как

ki = − ,                                                                        (53.4)

где ki — волновой 4-вектор.

Мы видели, что компоненты 4-вектора ki связаны соотношением kiki=0. Подставляя сюда (53.4), находим уравнение

= 0.                                                                   (53.5)

Это уравнение, называемое уравнением эйконала, является основным уравнением геометрической оптики.

Уравнение эйконала можно вывести также и непосредственным предельным переходом λ0 в волновом уравнении. Поле f удовлетворяет волновому уравнению

= 0.

Подставляя сюда f=aei, находим

 ei + 2i  eiif  − f = 0.     (53.6)

Но эйконал  как было выше указано, есть большая величина; поэтому можно пренебречь здесь тремя первыми членами по сравнению с четвертым, и мы приходим снова к уравнению (53.5).