18 | 11 | 2017

Четырехмерные векторы

Геометрически он изображает элемент поверхности, равный и «нормальный» элементу dfik; все лежащие на нем отрезки ортогональны ко всем отрезкам на элементе dfik. Очевидно, что dfikdf*ik=0.

3. Интеграл по гиперповерхности, т. е. по трехмерному многообразию. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен, как известно, определителю третьего порядка, составленному из компонент этих векторов. В 4-пространстве аналогичным образом выражаются проекции объема «параллелепипеда» (т.е. «площади» гиперповерхности), построенного на трех 4-векторах dxi, dx'i, dx''i; они даются определителями

dSikl = ,

составляющими тензор 3-ранга, антисимметричный по трем индексам. В качестве элемента интегрирования по гиперповерхности удобнее пользоваться 4-вектором dSi, дуальным тензору dSikl

dSi = − eiklmdSklmdSklm = enklmdSn.                   (6.12)

При этом

dS0 = dS123dS1 = dS023,...

Геометрически dSi — 4-вектор, по величине равный «площади» элемента гиперповерхности и по направлению нормальный к этому элементу (т. е. перпендикулярный ко всем прямым, проведенным в элементе гиперповерхности). В частности, dS0=dxdydz, т. е. представляет собой элемент трехмерного объема dV — проекцию элемента гиперповерхности на гиперплоскость x0=const.

4. Интеграл по четырехмерному объему. Элементом интегрирования является произведение дифференциалов:

dΩ = dx0dx1dx2dx3 = c dt dV.                              (6.13)

Этот элемент является скаляром: очевидно, что объем участка 4-пространства не меняется при повороте системы координат.

Аналогично теоремам Гаусса и Стокса трехмерного векторного анализа существуют теоремы, позволяющие преобразовывать друг в друга четырехмерные интегралы.

Интеграл по замкнутой гиперповерхности можно преобразовать в интеграл по заключенному в ней 4-объему путем замены элемента интегрирования dSi на оператор:

dSidΩ .                                                    (6.14)

Например, для интеграла от вектора Ai имеем

AidSi = dΩ.                                                (6.15)

Эта формула является обобщением теоремы Гаусса.

Интеграл по двумерной поверхности преобразуется в интеграл по «охватываемой» ею гиперповерхности заменой элемента интегрирования df*ik на оператор:

df*ikdSi dSk .                                     (6.16)

Например, для интеграла от антисимметричного тензора Aik имеем

Aikdf*ikdSi dSk = dSi .           (6.17)

Интеграл по четырехмерной замкнутой линии преобразуется в интеграл по охватываемой ею поверхности путем замены

dxidfki .                                                          (б.18)

Так, для интеграла от вектора имеем

Aidxi = dfki = dfki ,                   (6.19)

что является обобщением теоремы Стокса.