20 | 11 | 2017

Четырехмерные векторы

При отражении системы координат, т. е. при изменении знака всех координат, компоненты обычного трехмерного вектора тоже меняют знак. Такие векторы называют полярными. Компоненты же вектора, который может быть представлен как векторное произведение двух полярных векторов, при отражении не меняют знак. Такие векторы называются аксиальными. Скалярное произведение полярного и аксиального векторов является не истинным, а псевдоскаляром: при отражении координат оно меняет знак. Аксиальный вектор является псевдовектором, дуальным антисимметричному тензору. Так, если C=[AB], то

Cα eαβγ Cβγ, где Cβγ = AβBγ − AγBβ.

Вернемся к 4-тензорам. Пространственные (i,k,...=1,2,3) компоненты антисимметричного 4-тензора Aik составляют по отношению к чисто пространственным преобразованиям трехмерный антисимметричный тензор; согласно сказанному выше его компоненты выражаются через компоненты трехмерного аксиального вектора. Компоненты же A01, A02, A03 составляют, по отношению к тем же преобразованиям, трехмерный полярный вектор. Таким образом, компоненты антисимметричного 4-тензора можно представить в виде таблицы:

(Aik) = ,                                 (6.10)

причем по отношению к пространственным преобразованиям p и a —полярный и аксиальный векторы. Перечисляя компоненты антисимметричного 4-тензора, мы будем записывать их в виде

Aik = (p,a);

тогда ковариантные компоненты того же тензора

Aik = (−p,a).

Остановимся, наконец, на некоторых дифференциальных и интегральных операциях четырехмерного тензорного анализа.

4-градиент скаляра φ есть 4-вектор

,φ.

При этом необходимо иметь в виду, что написанные производные должны рассматриваться как ковариантные компоненты 4-вектора. Действительно, дифференциал скаляра

dxi

тоже есть скаляр; из его вида (скалярное произведение двух 4-векторов) и очевидно сделанное утверждение.

Вообще операторы дифференцирования по координатам xi, ∂/∂xi, должны рассматриваться как ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Поэтому, например, является скаляром дивергенция 4-вектора —выражение ∂Ai/∂xi, в котором дифференцируются контравариантные компоненты Ai.

В трехмерном пространстве интегрирование может производиться по объему, по поверхности и по кривой. В четырехмерном пространстве соответственно возможны четыре рода интегрирований.

1. Интеграл по кривой в 4-пространстве. Элементом интегрирования является элемент длины, т. е. 4-вектор dxi.

2.    Интеграл по поверхности (двумерной) в 4-пространстве. Как известно, в трехмерном пространстве проекции площади параллелограмма, построенного на двух векторах dr и dr', на координатные плоскости xαxβ равны dxα dx'βdxβdx'α. Аналогично в 4-пространстве бесконечно малый элемент поверхности определяется антисимметричным тензором второго ранга dfik=dxidx'kdxkdx'i его компоненты равны проекциям площади элемента на координатные плоскости. В трехмерном пространстве, как известно, вместо тензора dfαβ в качестве элемента поверхности используется вектор dfα, дуальный тензору dfαβ:dfα= eαβγdfβγ. Геометрически это есть вектор, нормальный к элементу поверхности и по абсолютной величине равный площади этого элемента. В четырехмерном пространстве такого вектора построить нельзя, но можно построить тензор df*ik, дуальный тензору dfik, т.е.

df*ik eiklmdflm.                          (6.11)