18 | 11 | 2017

Четырехмерные векторы

Поднимая у тензора  один или опуская другой индекс, мы получим контра- или ковариантный тензор, который обозначают как gik или gik и называют метрическим тензором. Тензоры gik и gik имеют одинаковые компоненты, которые можно представить в виде таблицы:

(gik) = (gik) =                      (6.5)

(индекс i нумерует строки, а индекс k — столбцы в порядке значений 0,1,2,3). Очевидно, что

gikAk = AigikAk = Ai.                         (б.б)

Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде

AiAigikAiAk = gikAiAk.                      (6.7)

Тензоры gikgik исключительны в том отношении, что их компоненты одинаковы во всех системах координат. Таким же свойством обладает и совершенно антисимметричный единичный 4-тензор четвертого ранга eiklm. Так называется тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем отличные от нуля компоненты равны ±1. Из антисимметричности следует, что все компоненты этого тензора, у которых хотя бы два индекса совпадают, равны нулю, так что отличны от нуля лишь те, у которых все четыре индекса различны. Положим

e0123 = +1                                       (6.8)

(при этом e0123=−1). Тогда все отличные от нуля компоненты eiklm равны +1 или −1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок (транспозиций) могут быть приведены числа i, k, l, m к последовательности 0, 1, 2, 3. Число таких компонент равно 4!=24. Поэтому

eiklmeiklm = −24.                               (6.9)

По отношению к поворотам системы координат величины eiklm ведут себя как компоненты тензора; однако при изменении знака у одной или трех координат компоненты eiklm, будучи определены одинаково для всех систем координат, не изменяются, в то время как компоненты тензора должны были бы изменить знак. Поэтому eiklm есть, собственно говоря, не тензор, а, как говорят, псевдотензор. Псевдотензоры любого ранга, в частности псевдоскаляры, ведут себя как тензоры при всех преобразованиях координат, за исключением тех, которые не могут быть сведены к поворотам, т. е. за исключением отражений — изменений знаков координат, не сводимых к вращениям.

Произведения eiklmeprst образуют 4-тензор 8-го ранга, причем уже тензор истинный; упрощением по одной или нескольким парам индексов из него получаются тензоры 6-го, 4-го и 2-го рангов. Все эти тензоры имеют одинаковый вид во всех координатных системах. Поэтому их компоненты должны выражаться в виде комбинаций произведений компонент единичного тензора  — единственного истинного тензора, компоненты которого во всех системах одинаковы. Эти комбинации легко составить, исходя из свойств симметрии по отношению к перестановкам индексов, которыми они должны обладать.

Если Aik — антисимметричный тензор, то тензор Aik и псевдотензор A*ik=(1⁄2)eiklmAlm называются дуальными друг другу. Аналогично eiklmAm есть антисимметричный псевдотензор 3-го ранга, дуальный вектору Ai. Произведение AikA*ik дуальных тензоров есть, очевидно, псевдоскаляр.

В связи со сказанным напомним некоторые аналогичные свойства трехмерных векторов и тензоров. Совершенно антисимметричным единичным псевдотензором 3-го ранга называется совокупность величин eαβγ, меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь компоненты eαβγ с тремя различными индексами. При этом полагаем exyz=1; остальные же равны 1 или −1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок можно привести последовательность α, βγ к последовательности x, y, z.

Произведения eαβγeλμν составляют истинный трехмерный тензор 6-го ранга и потому выражаются в виде комбинаций произведений компонент единичного трехмерного тензора δαβ.