20 | 11 | 2017

Четырехмерные векторы

При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора: Ai=(A0,−А), а квадрат 4-вектора: AiAi=(A0)2А2. Так, для 4-радиус-вектора:

xi = (ct, r),  xi = (ct, −r),  xixi = c2t2 − r2.

У трехмерных векторов (в координатах x, y, z) нет, конечно, необходимости различать контра- и ковариантные компоненты. Везде (где это не сможет привести к недоразумениям) мы будем писать их компоненты A(=x,y,z) с индексами внизу, обозначая эти индексы греческими буквами. В частности, по дважды повторяющимся греческим индексам будет подразумеваться суммирование по трем значениям x, y, z (например, AB=AB.)

Четырехмерным тензором (4-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин Aik, которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов.

Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантные Aik, ковариантные Aik и смешанные Aik (в последнем случае надо, вообще говоря, различать Aik и Aik, т.е. следить за тем, какой именно—первый или второй — индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1,2,3) меняет знак компоненты. Так:

A00 = A00A01 = −A01A11 = A11,...,
A00 = A00,  A01 = A01A01 = −A01A11 = −A11,...

По отношению к чисто пространственным преобразованиям девять компонент A11, A12,... составляют трехмерный тензор. Три компоненты A01, A02A03 и три компоненты A10, A20, A30 составляют трехмерные векторы, а компонента A00 является трехмерным скаляром.

Тензор Aik называется симметричным, если Aik=Aki, и антисимметричным, если Aik=−Aki. У антисимметричного тензора все диагональные компоненты (т. е. компоненты A00, A11, ...) равны нулю, так как, например, должно быть A00=−A00. У симметричного тензора Aik смешанные компоненты Aik и Aki очевидно совпадают; мы будем писать в таких случаях просто , располагая индексы один над другим.

Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные (вверху или внизу) свободные, т.е. не немые, индексы. Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать (вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент различных тензоров «незаконно»; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе.

Из компонент тензора Aik можно образовать скаляр путем образования суммы

Aii = A00 + A11 + A22 + A33

(при этом, конечно, Aii=Aii). Такую сумму называют следом тензора, а об операции его образования говорят как о свертывании или упрощении тензора.

Операцией свертывания является и рассмотренное выше образование скалярного произведения двух 4-векторов: это есть образование скаляра AiBi из тензора AiBk. Вообще всякое свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на 2. Например, Aikli есть тензор 2-го ранга, AikBk — 4-вектор, Aikik — скаляр и т. д.

Единичным 4-тензором называется тензор , для которого имеет место равенство

Ai = Ak                                              (б.З)

при любом 4-векторе Ai. Очевидно, что компоненты этого тензора равны

=                                (6.4)

Его след:  = 4.