24 | 09 | 2017

Четырехмерные векторы

Совокупность координат события (ct, x, y, z) можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или, как мы будем говорить для краткости, 4-радиус-вектора) в четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем обозначать через xi, где индекс i пробегает значения 0, 1, 2, 3, причем

x0 = ctx1 = xx2 = yx3 = z.

Квадрат «длины» 4-радиус-вектора дается выражением

(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2.

Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.

Вообще четырехмерным вектором (4-вектором) A1 называется совокупность четырех величин A0, A1, A2, A3, которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора xi. При преобразовании Лоренца

A0A1A2 = A'2A3 = A'3.  (6.1)

Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора:

(A0)2 − (A1)2 − (А2)2 − (А3)2.

Для удобства записи подобных выражений вводят два «сорта» компонент 4-векторов, обозначая их буквами Ai и Ai с индексами сверху и снизу. При этом

A0 = A0A1 = −A1,  A2 = −A2A3 = −A3.          (6.2)

Величины Ai называют контравариантными, а Aiковариантными компонентами 4-вектора. Квадрат 4-вектора представится тогда в виде

AiAiA0A0A1A1A2A2 + A3A3.

Такие суммы принято записывать просто как AiAi, опуская знак суммирования. Вообще принимается правило, согласно которому по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. При этом в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой внизу. Такой способ обозначения суммирования по, как говорят, немым индексам, очень удобен и значительно упрощает запись формул.

Мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3, латинскими буквами i, k, l, ...

Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное произведение двух разных 4-векторов:

АiВi = A0B0A1B1A2B2 + A3B3.

При этом, очевидно, его можно записать как в виде АiВi, так и в виде АiВi, — результат от этого не меняется. Вообще во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы.

Произведение АiВi является 4-скаляром — оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат. Это обстоятельство легко проверить непосредственно, но оно и заранее очевидно (по аналогии с квадратом АiAi) из того, что все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону.

Компоненту 4-вектора A0 называют временной, а компоненты A1, A2, A3 — пространственными (по аналогии с 4-радиус-вектором). Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю; в этих трех случаях говорят соответственно о времениподобных, пространственноподобных и нулевых 4-векторах (снова по аналогии с терминологией для интервалов).

По отношению к чисто пространственным поворотам (т. е. преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора Ai составляют трехмерный вектор А. Временная же компонента 4-вектора представляет собой (по отношению к тем же преобразованиям) трехмерный скаляр. Перечисляя компоненты 4-вектора, мы часто будем записывать их как

Ai = (A0, A).