24 | 09 | 2017

Преобразование скорости

Мы нашли в предыдущем параграфе формулы, позволяющие по координатам события в одной системе отсчета найти координаты того же события в другой системе отсчета. Теперь мы найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной частицы в одной системе отсчета со скоростью той же частицы в другой системе.

Пусть опять система K' движется относительно системы K со скоростью V вдоль оси x. Пусть x=dx/dt есть компонента скорости в системе K, а 'x=dx'/dt' — компонента скорости той же частицы в системе K'. Из (4.3) мы имеем

dxdy = dy'dz = dz'dt.

Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости

v = v' ,

находим

x = y,  z = .   (5.1)

Эти формулы и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае c они переходят в формулы классической механики x='x +V, y='y, z='z.

В частном случае движения частицы параллельно оси x имеем x=, y=z=0. Тогда 'y='z=0, а 'x=', причем

.                                       (5.2)

Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света.

Для скоростей V, значительно меньших скорости света (скорость  может быть любой), имеем приближенно с точностью до членов порядка V/c:

x = 'x + 1 − ,  y = 'y − 'x 'y ,  z'z  − 'x 'z .

Эти три формулы можно записать в виде одной векторной формулы

v = v' + V − (Vv') v'.                                (5.3)