20 | 11 | 2017

Преобразование Лоренца

Обратные формулы, выражающие x', y', z', t' через x, y, z, t, проще всего получаются заменой V на −V (так как система K движется относительно K' со скоростью −V). Эти же формулы можно получить непосредственно, решая уравнения (4.3) относительно x', y', z', t'.

Легко видеть из (4.3), что при предельном переходе c→ к классической механике формулы преобразования Лоренца действительно переходят в преобразование Галилея.

При V>c в формулах (4.3) координаты x, t делаются мнимыми; это соответствует тому факту, что движение со скоростью, большей скорости света, невозможно. Невозможно даже использование системы отсчета, движущейся со скоростью, равной скорости света, — при этом знаменатели в формулах (4.3) обратились бы в нуль.

Для скоростей V, малых по сравнению со скоростью света, вместо (4.3) можно пользоваться приближенными формулами

x = x' + Vt'y = y'z = z't = t' + x'.                   (4.4)

Пусть в системе K покоится линейка, параллельная оси x. Длина ее, измеренная в этой системе, пусть будет Δx=x2x1 (x2 и x1 — координаты обоих концов линейки в системе K). Найдем теперь длину этого стержня, измеренную в системе K'. Для этого надо найти координаты обоих концов стержня (x'2 и x'1) в этой системе в один и тот же момент времени t'. Из (4.3) находим

x1 = ,    x2 = .

Длина стержня в системе K' есть Δx'=x'2x'1; вычитая x2 из x1, находим

Δx.

Собственной длиной стержня называется его длина в той системе отсчета, в которой он покоится. Обозначим ее через l0x, а длину того же стержня в какой-либо системе отсчета K' — через l. Тогда

l = l0.                                   (4.5)

Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Длина его в системе, в которой он движется со скоростью V, уменьшается в отношении . Этот результат теории относительности называется лоренцевым сокращением.

Поскольку поперечные размеры тела при его движении не меняются, то объем тела сокращается по аналогичной формуле:

= 0                                           (4.6)

где 0 есть собственный объем тела.
Из преобразования Лоренца можно найти известные нам уже результаты относительно собственного времени. Пусть в системе K' покоятся часы. В качестве двух событий возьмем два события, происшедших в одном и том же месте x', y', z' пространства в системе K'. Время в системе K' между этими событиями есть Δt'=t'2t'1. Найдем теперь время Δt, которое прошло между этими же событиями в системе отсчета K. Из (4.3) имеем

tt2 = ,

или, вычитая одно из другого,

t2t1 = Δt = ,

в полном согласии с (3.1).

Наконец, отметим еще одно общее свойство преобразований Лоренца, отличающее их от преобразований Галилея. Последние обладают, как говорят, свойством коммутативности, т. е. совместный результат двух последовательных преобразований Галилея (с различными скоростями V1 и V2) не зависит от порядка, в котором эти преобразования производятся. Напротив, результат двух последовательных преобразований Лоренца зависит, вообще говоря, от их последовательности. Чисто математически это видно уже из использованного выше формального истолкования этих преобразований как вращений четырехмерной системы координат: как известно, результат двух поворотов (вокруг различных осей) зависит от порядка их осуществления. Исключением являются лишь преобразования с параллельными векторами V1 и V2 (эквивалентные поворотам четырехмерной системы координат вокруг одной и той же оси).