24 | 09 | 2017

Преобразование Лоренца

Нашей целью будет сейчас нахождение формул преобразования от одной инерциальной системы отсчета к другой, т. е. формул, по которым, зная координаты x, y, z, t события в некоторой системе отсчета K, можно найти координаты x', y', z', t' того же события в другой инерциальной системе K'.

В классической механике этот вопрос решается очень просто. В силу абсолютности времени мы имеем там t=t'; далее, если оси координат выбраны так, как мы это обычно делаем (т. е. оси x и x' совпадают, оси y, z параллельны осям y', z', движение вдоль осей x и x'), то координаты y и z будут, очевидно, равны координатам y' и z', а координаты x и x' будут отличаться на расстояние, пройденное одной системой относительно другой; если начало отсчета времени выбрано в момент, когда обе системы координат совпадали, а скорость системы K' относительно K есть V, то это расстояние есть Vt. Таким образом,

x = x' + Vty = y'z = z't = t'.                           (4.1)

Эти формулы называются преобразованием Галилея. Легко проверить, что это преобразование, как и следовало, не удовлетворяет требованию теории относительности, — оно не оставляет инвариантными интервалы между событиями.

Релятивистские же формулы преобразования мы будем искать, исходя из требования, чтобы они оставляли интервалы инвариантными.

Интервал между двумя событиями можно рассматривать как расстояние между соответствующими двумя мировыми точками в четырехмерной системе координат. Мы можем, следовательно, сказать, что искомое преобразование должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном пространстве x, y, z, ct. Но такими преобразованиями являются только параллельные переносы и вращения системы координат. Из них переносы системы координат параллельно самой себе не представляют интереса, так как сводятся просто к переносу начала пространственных координат и изменению момента начала отсчета времени. Таким образом, искомое преобразование должно математически выражаться как вращение четырехмерной системы координат x, y, z, t.

Всякое вращение в четырехмерном пространстве можно разложить на шесть вращений, а именно в плоскостях xy, zy, xz, tx, ty, tz (подобно тому, как всякое вращение в обычном пространстве можно разложить на три вращения в плоскостях xy, zy и xz). Первые три из этих вращений преобразуют только пространственные координаты; они соответствуют обычным пространственным поворотам.

Рассмотрим поворот в плоскости tx; координаты y и z при этом не меняются. Это преобразование должно оставлять неизменной, в частности, разность (ct)2x2 — квадрат «расстояния» от точки (ct, x) до начала координат. Связь между старыми и новыми координатами в этом преобразовании дается в наиболее общем виде формулами

x = x' ch ψ + ct' sh ψct = x' sh ψ + ct' ch ψ,                       (4.2)

где ψ — «угол поворота»; простой проверкой легко убедиться, что при этом действительно будет c2t2 − x2 = c2t'2 − x'2. Формулы (4.2) отличаются от обычных формул преобразования при повороте осей координат заменой тригонометрических функций гиперболическими. В этом проявляется отличие псевдоевклидовой геометрии от евклидовой.

Мы ищем формулы преобразования от инерциальной системы отсчета K к системе K', которая движется относительно K со скоростью V вдоль оси x. При этом, очевидно, подвергаются преобразованию только координата x и время t. Поэтому это преобразование должно быть вида (4.2). Остается определить угол ψ, который может зависеть только от относительной скорости V.

Рассмотрим движение в системе K начала координат системы отсчета K'. Тогда x'=0 и формулы (4.2) принимают вид

xct' sh ψct = ct' ch ψ,

или, разделив одно на другое,

= th ψ.

Но x/t есть, очевидно, скорость V системы K' относительно K. Таким образом,

th ψ = V/c.

Отсюда

sh ψ = ,    ch ψ = .

Подставив это в (4.2), находим

xy = y'z = z't.          (4.3)

Это и есть искомые формулы преобразования. Они носят название формул преобразования Лоренца и имеют для дальнейшего фундаментальное значение.