20 | 11 | 2017

Интервал

Таким образом,

ds2 = ds'2,                                              (2.6)

а из равенства бесконечно малых интервалов следует равенство также и конечных интервалов: s=s'.

Мы приходим, следовательно, к важнейшему результату: интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета, т. е. является инвариантом по отношению к преобразованию от одной инерциальной системы отсчета к любой другой. Эта инвариантность и является математическим выражением постоянства скорости света.

Пусть опять x1, y1, z1t1 и x2, y2, z2, t2 — координаты двух событий в некоторой системе отсчета K. Спрашивается, существует ли такая система отсчета K', в которой оба эти события происходили бы в одном и том же месте пространства.

Введем обозначения

t2 t1 = t12,  (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2z1)2 = .

Тогда квадрат интервала между событиями в системе K:

= c2 − 

и в системе K':

= c2 − ,

причем в силу инвариантности интервала

c2 −  = c2 − .

Мы хотим, чтобы в системе K' оба события произошли в одной точке, т. е. чтобы l'12=0. Тогда

= c2 −  = c2 > 0.

Следовательно, система отсчета с требуемым свойством существует, если >0, т.е. если интервал между обоими событиями вещественный. Вещественные интервалы называют времениподобными.

Таким образом, если интервал между двумя событиями времениподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Время, которое пройдет между этими событиями в этой системе, равно

t'12 .                                  (2.7)

Если какие-нибудь два события происходят с одним и тем же телом, то интервал между ними всегда времениподобный. Действительно, путь, который тело проходит между обоими событиями, не может быть больше ct12, так как скорость тела не может быть больше c. Поэтому всегда

l12 < ct12.

Зададимся теперь вопросом, нельзя ли выбрать такую систему отсчета, в которой два события произошли бы в одно и то же время. По-прежнему мы имеем в системах K и K'c2=c2. Мы хотим, чтобы t'12=0; отсюда

= − < 0.

Следовательно, искомую систему отсчета можно найти только в том случае, когда интервал я 12 между двумя событиями мнимый. Мнимые интервалы называют пространственноподобными.

Таким образом, если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то существует такая система отсчета, в которой оба события происходят одновременно. Расстояние между точками, где произошли эти события в этой системе отсчета, равно

l'12 = = is12.                            (2.8)

Подразделение интервалов на времениподобные и пространственноподобные есть, в силу их инвариантности, понятие абсолютное. Это значит, что свойство интервала быть времениподобным или пространственноподобным не зависит от системы отсчета.