Интервал
 

Интервал

В дальнейшем мы будем часто пользоваться понятием события. Событие определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Таким образом, событие, происходящее с некоторой материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда происходит событие.

Часто полезно из соображений наглядности пользоваться воображаемым четырехмерным пространством, на осях которого откладываются три пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изображается точкой. Эти точки называются мировыми точками. Всякой частице соответствует некоторая линия (мировая линия) в этом четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая линия.

Выразим теперь принцип инвариантности скорости света математически. Для этого рассмотрим две системы отсчета K и K', движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью. Координатные оси выберем при этом таким образом, чтобы оси x и x' совпадали, а оси y и z были параллельны осям y' и z'; время в системах K и K' обозначим через t и t'.

Пусть первое событие состоит в том, что отправляется сигнал, распространяющийся со скоростью света, из точки, имеющей координаты x1, y1, z1 в системе K в момент времени t1 в этой же системе. Будем наблюдать из системы K распространение этого сигнала. Пусть второе событие состоит в том, что сигнал приходит в точку x2, y2, z2 в момент времени t2. Сигнал распространяется со скоростью c; пройденное им расстояние равно поэтому c(t2t2). С другой стороны, это же расстояние равно [(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2]1⁄2. Таким образом, мы можем написать следующую зависимость между координатами обоих событий в системе K:

(x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2z1)2c2(t2 t1)2 = 0.               (2.1)

Те же два события, т. е. распространение сигнала, можно наблюдать из системы K'. Пусть координаты первого события в системе K': x'1, y'1, z'1, t'1 а второго: x'2, y'2, z'2, t'2. Поскольку скорость света в системах K и K' одинакова, то, аналогично (2.1), имеем

(x'2 x'1)2 + (y'2 y'1)2 + (z'2z'1)2c2(t'2 t'1)2 = 0.         (2.2)

Если x1, y1, z1t1 и x2, y2, z2, t— координаты каких-либо двух событий, то величина

s12 = [c2(t2t1)2 − (x2x1)2 − (y2 y1)2 − (z2z1)2]1⁄2       (2.3)

называется интервалом между этими двумя событиями.

Таким образом, из инвариантности скорости света следует, что если интервал между двумя событиями равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и во всякой другой системе.

Если два события бесконечно близки друг к другу, то для интервала ds между ними имеем

ds2 = c2dt2dx2 − dy2 − dz2.                                         (2.4)

Форма выражения (2.3) или (2.4) позволяет рассматривать интервал, с формальной математической точки зрения, как расстояние между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве (на осях которого откладываем x, y, z и произведение ct). Имеется, однако, существенное отличие в правиле составления этой величины по сравнению с правилом обычной геометрии: при образовании квадрата интервала квадраты разностей координат по различным осям суммируются не с одинаковыми, а с различными знаками.

Как было показано выше, если ds=0 в некоторой инерциальной системе отсчета, то ds'=0 и в другой системе. С другой стороны, ds и ds' — бесконечно малые одинакового порядка. Из этих двух обстоятельств следует, что ds2 и ds'2 должны быть пропорциональны друг другу:

ds2 = αds'2,

причем коэффициент о может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости обеих инерциальных систем. Он не может зависеть от координат и времени, так как тогда различные точки пространства и моменты времени были бы не равноценны, что противоречит однородности пространства и времени. Он не может зависеть также и от направления относительной скорости, так как это противоречило бы изотропности пространства.

Рассмотрим три системы отсчета K, K1, K2 и пусть V1 и V2 — скорости движения систем K1 и K2 относительно K. Тогда имеем

ds2 = α(V1)d,    ds2 = α(V2)d.

С тем же основанием можно написать:

d = α(V12)d,

где V12 — абсолютная величина скорости движения K2 относительно K1. Сравнивая друг с другом эти соотношения, найдем, что должно быть:

α(V12).                                    (2.5)

Но V12 зависит не только от абсолютных величин векторов V1 и V2, но и от угла между ними. Между тем последний вообще не входит в левую часть соотношения (2.5). Ясно поэтому, что это соотношение может быть справедливым лишь, если функция α(V) сводится к постоянной величине, равной, как это следует из того же соотношения, единице.