18 | 11 | 2017

Постоянное магнитное поле

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое зарядами, совершающими финитное движение, при котором частицы остаются все время в конечной области пространства, причем импульсы тоже остаются всегда конечными. Такое движение имеет стационарный характер, и представляет интерес рассмотреть среднее (по времени) магнитное поле , создаваемое зарядами; это поле будет теперь функцией только от координат, но не от времени, т. е. будет постоянным.

Для того чтобы найти уравнения, определяющие среднее магнитное поле, усредним по времени уравнения Максвелла

div H = 0,  rot H = + j.

Первое из них дает просто

div  = 0.                                         (43.1)

Во втором уравнении среднее значение производной ∂E/∂t, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в конечном интервале, равно нулю. Поэтому второе уравнение Максвелла приобретает вид

rot  .                                    (43.2)

Эти два уравнения и определяют постоянное поле .

Введем средний векторный потенциал согласно

rot = .

Подставив это в уравнение (43.2), получим

grad div  − Δ .

Но мы знаем, что векторный потенциал поля определен неоднозначно, и поэтому на него можно наложить любое дополнительное условие. На этом основании выберем потенциал так, чтобы

div = 0.                                       (43.3)

Тогда уравнение, определяющее векторный потенциал постоянного магнитного поля, приобретает вид

 = −  .                                    (43.4)

Решение этого уравнения легко найти, заметив, что (43.4) вполне аналогично уравнению Пуассона (36.4) для скалярного потенциала постоянного электрического поля, причем вместо плотности заряда ρ стоит плотность тока /с. По аналогии с решением (36.8) уравнения Пуассона мы можем написать

 = dV,                                 (43.5)

где R — расстояние от точки наблюдения поля до элемента объема dV.