18 | 11 | 2017

Система зарядов во внешнем поле

Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем электрическом поле. Обозначим теперь потенциал этого внешнего поля через φ(r). Потенциальная энергия каждого из зарядов есть eaφ(ra), а полная потенциальная энергия системы равна

U = eaφ(ra).                                             (42.1)

Выберем снова систему координат с началом внутри системы зарядов; ra — радиус-вектор заряда ea в этих координатах.

Предположим, что внешнее поле слабо меняется на протяжении системы зарядов, т. е. является по отношению к этой системе квазиоднородным. Тогда мы можем разложить энергию U в ряд по степеням ra:

U = U(0) + U(1) + U(2) + ...                                   (42.2)

В этом разложении первый член есть

U(0) = φ0ea,                                                     (42.3)

где φ0 — значение потенциала в начале координат. В этом приближении энергия системы такова, как если бы все заряды находились в одной точке.

Второй член разложения

U(1) = (gгаd φ)0 eara.

Введя напряженность E0 поля в начале координат и дипольный момент d системы, имеем

U(1) = −dE0.                                                    (42.4)

Полная сила, действующая на систему во внешнем квазиоднородном поле, есть, с точностью до рассмотренных членов,

F = E0ea + (gгаd dE)0.

Если полный заряд равен нулю, то первый член исчезает и тогда

F = (d)Е,                                                     (42.5)

т. е. сила определяется производными напряженности поля (взятыми в начале координат). Полный же момент действующих на систему сил есть

K = [ra · eaE0] = [dE0],                              (42.6)

т. е. определяется самой напряженностью поля.

Рассмотрим две системы с равными нулю суммами зарядов в каждой из них и дипольными моментами d1 и d2, причем их взаимное расстояние велико по сравнению с их собственными размерами. Определим потенциальную энергию U их взаимодействия. Для этого можно рассматривать одну из этих систем как находящуюся в поле второй. Тогда

U = −d2E1,

где E1 — поле первой системы. Подставляя для E1 выражение (40.8), находим

U,                (42.7)

где R — вектор расстояния между обеими системами.